期待値100%でも儲からない？ DUNK10型くじを50万回シミュレーションしてみた

前回、バスケットボールを対象としたスポーツくじ「DUNK10」について、キャリーオーバーがいくら積み上がれば期待値100%を超えるのかを計算しました。

第2回：キャリーオーバーはいくらなら得になる？ DUNK10とBIGの期待値を本気で計算してみた

その結果、特定の販売規模を仮定すると、1等キャリーが約3億7,900万円に達したあたりで期待払戻率が100%になることが分かりました。

では、ここで一つ疑問が生まれます。

期待値100%のくじを大量に買えば、損をしなくなるのでしょうか？

例えば、300円のくじを10万口、合計3,000万円分購入したとします。

期待値100%なら、平均払戻額も3,000万円です。

しかし今回、DUNK10の当せん確率を使ったシミュレーションでは、意外な結果になりました。

10万口購入しても、約90.9%の確率で赤字になる。

しかも、期待値は正確に100%です。

一方、世界には数学を使って宝くじから実際に数百万ドルの利益を得た人たちも存在します。

この違いはどこにあるのでしょうか。

今回はDUNK10型くじの分散と当選確率を調べ、過去の「数学で宝くじに勝った人たち」と比較します。

期待値100%は「儲かる確率100%」ではない

まず期待値を確認します。

300円で参加できるゲームがあり、

• 50%の確率で600円
• 50%の確率で0円

が返ってくるとします。

期待払戻額は、

600円 × 0.5 + 0円 × 0.5 = 300円

です。

したがって期待払戻率は100%。

数学的には公平なゲームです。

しかし、1回だけ遊べば結果は600円か0円。

300円が返ってくるわけではありません。

では、当せん確率を極端に小さくし、その代わり当せん金額を大きくしたらどうなるのでしょう。

ここでDUNK10の登場です。

DUNK10の当せん確率を計算する

DUNK10は1口300円。

指定された10試合について、コンピューターがそれぞれ4つの選択肢からランダムに結果を選びます。

すべて一致すれば1等です。

1等確率は、

1 / 4¹⁰ = 1 / 1,048,576

です。

さらに1〜4試合はずれた場合には2〜5等があります。

各等級の当せん確率は、組合せを使って計算できます。

例えば2等は、

10試合のうち1試合だけはずれ、そのはずれ方が3通りあるため、

10 × 3 / 4¹⁰ = 30 / 1,048,576

です。

すべて計算すると、次のようになります。

等級	条件	当せん確率
1等	全10試合一致	約0.000095%
2等	1試合はずれ	約0.00286%
3等	2試合はずれ	約0.0386%
4等	3試合はずれ	約0.309%
5等	4試合はずれ	約1.622%
はずれ	5試合以上はずれ	約98.027%

約98%は、当せん金が0円になります。

これはキャリーオーバーがどれだけ増えても変わりません。

キャリーオーバーで増えるのは当せん金額であって、当せん確率ではないからです。

期待値100%の仮想DUNK10を作ってみる

今回は、DUNK10の当せん確率を使った仮想的なくじを作ります。

2〜5等の賞金には、2026年9月27日に結果が発表された第1回DUNK10の実際の払戻額を使用しました。

1等は第1回では当せん者がいなかったため、仮想的に金額を設定します。

等級	今回の払戻金額
1等	275,296,800円（仮想）
2等	534,840円
3等	15,540円
4等	1,920円
5等	630円
はずれ	0円

1等を275,296,800円とした理由は、期待払戻額を正確に300円にするためです。

各等級の賞金に当せん確率を掛けると、

等級	1口あたり期待払戻額
1等	約262.54円
2等	約15.30円
3等	約6.00円
4等	約5.93円
5等	約10.22円
合計	300.00円

となります。

つまり、期待払戻率は100%です。

なお、これは現実のDUNK10のある開催回を再現したものではありません。

実際のDUNK10は、販売口数や当せん口数によって払戻額が変わる仕組みです。キャリーがない場合の1等上限も異なります。

今回のモデルでは賞金を固定し、各口が独立して当せんすると仮定しています。

そのため、現実の同一開催回で大量購入する場合の損益予測には使えません。

50万回のモンテカルロシミュレーション

今回はPythonのNumPyを使用し、購入パターンごとに50万組のシミュレーションを行いました。

条件は、

• 1口300円
• DUNK10と同じ当せん確率
• 各等級の賞金は固定
• 購入口数100、1,000、1万、10万
• 各購入口数で50万組を試行
• 乱数シードは 20261014

です。

各口について理論当せん確率に従って結果を発生させ、合計払戻額と購入金額を比較します。

結果はこちら。

購入口数	購入金額	払戻中央値	赤字率
100口	3万円	1,260円	99.63%
1,000口	30万円	19,020円	97.08%
1万口	300万円	234,630円	99.04%
10万口	3,000万円	3,799,410円	90.86%

かなり極端な結果です。

すべての条件で理論上の期待払戻率は100%なのに、10万口購入しても約9割のケースが赤字になりました。

しかも、購入額3,000万円に対し、払戻中央値は約380万円。

中央値では約2,620万円の赤字です。

なぜ期待値3,000万円なのに、中央値は380万円なのか？

ここで重要なのが、平均値と中央値の違いです。

平均値は、すべての結果を足して試行数で割った数字です。

一方、中央値は、結果を小さい順に並べた真ん中の数字です。

今回のくじでは、1等に当たれば約2億7,530万円を受け取れます。

しかし当せん確率は約105万分の1。

非常に少数の高額当せんが平均値を大きく引き上げます。

そのため、

• 理論上の平均払戻額：3,000万円
• シミュレーションの中央値：約380万円

という乖離が生じるのです。

期待値が高いことと、典型的な結果がよいことは別問題です。

10万口でも1等が出ない確率は約90.9%

この結果は、シミュレーションを使わなくても説明できます。

1等の当せん確率を p、購入回数を N とすると、1等が一度も出ない確率は、

P(1等なし) = (1 − p)ᴺ

です。

ここに、

p = 1 / 1,048,576

を代入すると、

購入口数	1等が1口以上出る確率	1等が出ない確率
100口	約0.0095%	約99.9905%
1,000口	約0.0953%	約99.9047%
1万口	約0.9491%	約99.0509%
10万口	約9.0961%	約90.9039%

10万口買っても、1等に当たる確率は約9.1%しかありません。

しかも1等を除く下位等級からの期待払戻額は、1口あたり約37.46円です。

300円に対して約37円。

1等が出ないケースでは、ほとんどの購入者が大幅な赤字になります。

これが、期待値100%にもかかわらず約9割が赤字になる理由です。

1,000口の方が1万口より赤字率が低い？

ここで、もう一つ興味深い結果があります。

1,000口購入した場合の赤字率は約97.1%。

しかし、1万口購入すると約99.0%へ上がっています。

購入回数を10倍にしたのに、赤字になる確率が高くなっている。

なぜでしょうか。

理由は2等賞金です。

今回のモデルでは、2等に当たると534,840円が戻ります。

1,000口購入した場合、購入金額は30万円。

2等が1口でも当たれば、購入金額を回収できます。

しかし1万口購入すると、購入金額は300万円。

2等が1口出ても、約53万円しか戻りません。

大幅な赤字のままです。

そのため、1万口のケースでは1等、あるいは下位等級で多数の当せんが必要になります。

つまり、

利益が出る確率は、購入口数に対して単純に増加するとは限らない

ということです。

分散と標準偏差も計算する

期待値以外の指標として、分散と標準偏差を見てみます。

分散は、結果が平均からどれくらいばらつくかを表す指標です。

標準偏差は分散の平方根で、元の金額と同じ単位でばらつきを表します。

今回の仮想DUNK10では、

1口あたりの標準偏差：約268,860円

となりました。

300円のくじなのに、標準偏差は約26万9,000円。

非常に大きな値です。

その原因は、約105万分の1で発生する数億円の払戻しです。

各口を独立とした場合、10万口購入時の標準偏差は、

268,860円 × √100,000

となるため、

約8,502万円

です。

10万口購入した場合の理論上の期待払戻額は3,000万円ですが、標準偏差はその約2.83倍になります。

一方、先ほどのコイン投げゲームなら、1回の標準偏差は300円です。

10万回でも、

300円 × √100,000 ≒ 94,868円

です。

同じ期待値100%でも、10万回の標準偏差は、

• コイン投げ型：約9.5万円
• DUNK10型：約8,502万円

となります。

両者のばらつきには約896倍もの差があります。

これが、期待値だけでなく分散を見る必要がある理由です。

では、過去に数学を使って宝くじで儲けた人たちは？

ここまで読むと、

「期待値100%でさえ難しいなら、宝くじで数学的に稼ぐことはできないのでは？」

と思うかもしれません。

しかし、実際には数学的な分析を使って利益を上げた事例が存在します。

特に有名なのが、米国のWinfallとCash WinFallというくじです。

事例① セルビー夫妻：数学で約800万ドルの税引前利益

2003年、米国ミシガン州に住むJerry Selbeeは、新しい宝くじ「Winfall」のパンフレットを読んで、ある特徴に気づきました。

それが、Roll-down（賞金の繰り下げ配分）という制度です。

このくじでは、ジャックポットが一定の水準に達し、1等が出なかった場合、賞金原資が下位等級へ配分される仕組みでした。

通常、下位等級の当せん金はそれほど大きくありません。

ところが、roll-downが発生すると2等以下の当せん金が大幅に上昇します。

セルビーは、この特定の条件では、購入額より期待払戻額が大きくなることに気づきました。

さらに下位等級は1等より当たりやすいため、大量購入すれば収支を安定させやすくなります。

セルビー夫妻はミシガン州のWinfallに続き、マサチューセッツ州のCash WinFallでも同様の機会を利用しました。

CBSの報道によると、夫妻が設立した会社は約9年間で2,600万ドル超の払戻金を受け取り、税引前利益は約800万ドルに達したとされています。

重要なのは、この夫妻が「運よく何度も高額当せんした」のではなく、期待値が有利になる条件を選び、大量購入したことです。

参考：CBS News / 60 Minutes：セルビー夫妻の取材

事例② MIT学生グループ：推定350万ドル以上の税引前利益

実は同じCash WinFallに目を付けたのは、セルビー夫妻だけではありませんでした。

マサチューセッツ工科大学（MIT）の学生、James Harveyも、2005年にくじの規則を調べる中で、roll-downの有利さを発見しました。

Harveyは仲間と資金を集め、数学的に有利な開催回で大量購入を開始します。

さらに、購入する番号の組合せを調整するプログラムも開発しました。

狙いは、高い期待値を得るだけではありません。

当せんのばらつきを抑え、安定した払戻しを得ることでした。

同グループは通常、roll-downの開催回で約30万口を購入する規模にまで拡大しました。

州監察総監の調査では、約7年間の購入額は1,700万〜1,800万ドル。

税引前利益は少なくとも約350万ドルと推定されています。

なお、この利益額は監察総監による推定であり、グループが確定申告資料として公表した金額ではありません。

これはまさに、

期待値を計算する → 有利な開催回を選ぶ → 大量購入して分散を抑える

という手法です。

ただし、現実には大量の購入用紙を記入し、販売店で処理し、当せん券を分類するといった相当な作業が必要でした。

数学だけでは完結しなかったわけです。

参考：MIT The Tech：州監察総監による調査報告

事例③ Stefan Mandel：すべての番号を買うという発想

もう一つ、異なるアプローチの事例があります。

1992年、米国バージニア州の宝くじで、Stefan Mandelが関与した投資家グループ「International Lotto Fund」が1等に当せんしました。

このくじは44個の数字から6個を選ぶ方式です。

したがって、すべての番号の組合せは、

44C6 = 7,059,052通り

です。

仮に1口1ドルなら、すべて購入するためには約706万ドル必要になります。

一方、当時の1等賞金は公称約2,704万ドル。

賞金額だけを見れば、すべての番号を購入することで1等当せんを確実にするという戦略が考えられます。

しかし、実際の購入はそう簡単ではありません。

何百万口もの券を発行するためには、大量の作業員、販売端末、時間と資金が必要です。

実際、このグループは全組合せを購入するには至らず、500万口以上を購入したと報じられています。

それでも当せん番号を含む券を購入でき、約2,704万ドルの1等に当せんしました。

この数字は米国の裁判記録でも確認できます。

ただし重要な注意があります。

当せん額2,704万ドルは、そのまま利益を意味しません。

賞金は分割払いで、購入費用、資金調達、運営経費、投資家への分配、税務問題もありました。

実際、同グループは賞金に対する源泉徴収を巡って訴訟も起こしています。

したがって、この事例は「多額の当せんに成功した例」ではありますが、全投資家が当せん額に見合った大きな利益を得たと解釈すべきではありません。

参考：米連邦地裁：International Lotto Fund v. Virginia Lottery Department（1992年）

彼らの成功と、今回のDUNK10の結果は矛盾しない

ここまでの3事例を比較してみます。

方式	有利さの源泉	リスク低減の方法
DUNK10型の仮想モデル	高額1等賞金	独立試行の積み重ね。ただし分散が非常に大きい
Winfall / Cash WinFall	下位等級への賞金繰り下げ	当たりやすい等級を多数獲得
Mandelの番号網羅戦略	賞金と全組合せ購入費用の差	異なる番号を幅広く購入

最も重要な違いは、キャリーオーバーした賞金がどこへ行くのかです。

DUNK10では1等が出ない場合、原則として1等原資が次の開催回へ繰り越されます。

一方、WinfallやCash WinFallでは特定条件下で、ジャックポット原資が同じ開催回の下位等級へ配分されました。

この違いは非常に大きいです。

DUNK10の場合、1等キャリーによって期待値が高くなっても、当せん確率約105万分の1の1等に期待値の大部分が集中します。

そのため分散が大きい。

しかしCash WinFallでは、賞金がより当たりやすい下位等級へ移ります。

期待値を高めるだけでなく、利益を回収する機会も増えたのです。

もちろんCash WinFallも、1等が出ればroll-downが発生しないなどのリスクはありました。

それでも、今回の仮想DUNK10と比較すると、収益の安定性を改善できる構造でした。

Mandelの方法はさらに異なります。

番号を自分で選べるくじで、多数の異なる組合せを購入することで、当せんをより確実なものに近づけようとしました。

なお、DUNK10はコンピューターが番号をランダムに選ぶ方式です。

購入者が任意の番号を指定して全組合せを網羅する仕組みではありません。

したがって、Mandelの手法をDUNK10にそのまま適用することはできません。

本当に重要なのは「期待値×分散×購入条件」

今回の事例を調べてみると、数学を利用して継続的に利益を得るには、少なくとも次の要素が必要だったことが分かります。

1. 期待値がプラスになる条件が存在する
2. 十分な回数を購入して、収益のばらつきを抑えられる
3. 有利な条件が実際の購入時点まで維持される
4. 購入・運営・資金調達・税金などを考慮しても利益が残る
5. 規則に従って購入でき、制度変更にも対応できる

Cash WinFallは2012年に終了しました。

Mandelの大量購入を受けたバージニア州でも、同様の大量購入を難しくする規則変更が行われました。

つまり、これらは特定の時代・制度の下で成立した事例です。

「数学を使えば、どんな宝くじでも儲けられる」という意味ではありません。

むしろ逆です。

制度を理解して、利益が出る特殊な条件を見つけ、それを実際に回収できる方法を考えた人たちがいた。

そう理解するのが適切でしょう。

まとめ：数学で宝くじに勝った人たちは、何を計算していたのか？

今回はDUNK10の当せん確率を使って、期待値100%の仮想くじを作り、50万回のモンテカルロシミュレーションを実施しました。

その結果、

10万口購入しても約90.9%が赤字

という結果になりました。

一方、過去の米国では、数理的な分析によって実際に数百万ドルの税引前利益を得た人たちがいました。

この違いは、期待値がプラスかどうかだけでは説明できません。

利益を上げた人たちは、賞金配分の仕組みや購入する番号の組合せまで分析し、現実的に利益を回収しやすい条件を作っていました。

今回の結論は、次のようになります。

期待値は、そのゲームが数学的に有利かどうかを考える第一歩。しかし、実際に儲けられるかどうかは分散と購入条件まで計算しなければ判断できない。

そして、歴史上の成功例を調べると、もう一つ重要なことが分かります。

「何が当たるか」を予想するよりも、「どの条件で買うか」を分析する方が重要だった事例が存在する。

これはギャンブルだけでなく、金融市場や投資戦略にも通じる考え方かもしれません。

次回は競馬を取り上げます。

JRAの単勝・複勝は設定払戻率80%、3連単は72.5%。

この違いは何を意味するのでしょうか。

なぜ券種によって控除率が違うのか。そして予想が上手ければ、その差を乗り越えられるのか。

第4回では、まず競馬の払戻制度を計算してみます。

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シリーズ「日本のくじ・公営競技を理系で計算してみた」

1. 宝くじ・DUNK・競馬、100円で平均いくら戻る？
2. キャリーオーバーはいくらなら得になる？ DUNK10とBIGの期待値を本気で計算してみた
3. 期待値100%でも儲からない？ DUNK10型くじを50万回シミュレーションしてみた ← 今回
4. 競馬の単勝80%、3連単72.5%は何を意味する？
5. 予想が上手ければ控除率を突破できる？
6. 100万円を宝くじ・DUNK・競馬に使ったらどうなる？
7. ギャンブルと株式投資は何が違う？

計算条件と再現性

本記事のシミュレーションはPythonとNumPyを使用しています。

乱数生成器は default_rng(20261014) とし、各購入口数について50万組を試行しました。

1口あたりの当せん確率は、DUNK10の公式ルールから組合せにより算出しています。

1等賞金のみ仮想設定であり、1口あたりの期待払戻額が正確に300円となるよう調整しています。

標準偏差は各賞金と当せん確率から理論計算しました。

現実のDUNK10は変動配当方式であり、本記事の固定賞金モデルをそのまま実際の開催回へ適用することはできません。

主な参考資料

• スポーツくじ公式：DUNK10の商品概要と当せん確率
• スポーツくじ公式：第1回DUNK10当せん結果
• CBS News / 60 Minutes：セルビー夫妻の取材
• MIT The Tech：州監察総監によるMITグループ調査報告
• 米連邦地裁：International Lotto Fund v. Virginia Lottery Department（1992年）
• The Washington Post：バージニア州の1992年の当せんと賞金承認

※本記事は数理的・歴史的な検証を目的としたものであり、くじの購入や賭け行為を推奨するものではありません。